ИНВОЛЮЦИОННАЯ СИСТЕМА

- система дифференциальных уравнений c частными производными 1-го порядка

где х=( х ₁, ..., х _n), и=и{х ₁, . .., х _п),р=( р ₁, . .., р _n)=()., для к-рой все Якоби скобки равны нулю

тождественно по ( х, и, р). Равенства (2) наз. условиями разрешимости.

Для квазилинейных систем это определение несколько видоизменяется. Пусть все функции не зависят от р= (р ₁, ..., р _n).Тогда этим свойством обладают и функции

В классе квазилинейных уравнений условие инволюционности системы определяется равенствами

Когда F_i не зависят от и, это определение совпадает с предыдущим. Иногда последнее определение инволюционности распространяют на все системы вида (1). Если система (1) линейна, однородна и записана в виде

где P_i- линейные дифференциальные операторы 1-го порядка, то ее инволюционность можно определить как условие коммутируемости P_iP_j=P_jP_i для всех

Всякая И.с. является полной системой. Обратно, если (1) полная система и имеет нормальную форму, т. е. и F_i(x, и, p) = p_i- f_i(x, и, р _т+1,..., р _n), то она инволюционна. Это позволяет привести полную систему к И. с, если и ее можно разрешить неособым преобразованием относительно нек-рых тпеременных p=(p₁, ..., р _п).

Если система (1) не зависит от и, т=п, определитель

и p_i=p_i(x)разрешены из уравнений F_i(x,р)=то инволюционность этой системы означает, что выражение

является полным дифференциалом. На этом основано применение метода Якоби [2] решения И. с, не зависящих от ии состоящих из in функционально независимых уравнений, т В соответствии с этим методом исходную систему расширяют до И. с. из пуравнений с вышеуказанными свойствами. Расширение идет в несколько этапов, каждая последующая система получается из предыдущей добавлением ее независимых первых интегралов в инволюции. Этот метод допускает применение и для системы уравнений, зависящей от и(см. [3]).

Лит.:[1] Caratheodory С, Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, 2 Aufl., Lpz., 1956; [2] Jасоbi C, "J. reine und angew. Math.", 1862, Bd 60, S. 1-181; [3] Soursat E., Lecons sur l'integration des equations aux derive'es partielles du premier ordre, P., 1891; [4] Гюнтер Н. М., Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных, Л.- М., 1934; [5] Камке Э., Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка, пер. с нем., М., 1966.

А. П. Солдатов.